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因式分解公式

已有 2505 次阅读2018-5-2 02:53 分享到微信

因式分解新公式a^s−b^s=(a^t−b^t)[a^(s−t)+a^(s−2t)b^t+⋯+b^(s−t)],s=nt,n∈N ...
 
冯建华1786048482 2017-11-16 22:11 已有 117 次阅读
冯建华(电话和短信18245436492)       冯  越
(黑龙江农垦建三江分局鸭绿河农场54连,黑龙江 佳木斯 166334)
  标题中的公式是因式分解新公式42个中的首要公式。a^s表示a的s次方,a^sb^t表示(a^s与b^t)之积,其余类推。
  ∵举一,反三;
  ∴一给出a^s−b^s=(a^t−b^t)[a^(s−t)+a^(s−2t)b^t+⋯+b^(s−t)](s=nt,n∈N)(代以公式1),                                                                                                                                                              就给出a^s−b^s=(a^t+b^t)[a^(s−t)−a^(s−2t)b^t+⋯−b^(s−t)](s=2nt,n∈N)(代以公式1I)                                                                                                                                                                和a^s+b^s=(a^t+b^t)[a^(s−t)+a^(s−2t)b^t−⋯+b^(s−t)](s=nt,n∈N)(代以公式1II)。                                                                                                                                                              .
  ∵力求各项教学内容环环相扣得天衣无缝,∴各公式(或例题或习题)无不争取配套成龙。
一、公式1
证明:
用数学归纳法证明:
(1)当n=2时,右边=(a^t−b^t)[a^(s−t)+b(s−t)]=a^s−b^s=左边。等式成立。
(2)假设当n=k时等式成立,就是a^s−b^s=(a^t−b^t)[a^(s−t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s−t)](s=kt,k=n,n∈N)。
那么,当n=k+1时:a^(s+t)−b^(s+t)=[a^(s+t)+(a^sb^t−a^tb^s)−b^(s+t)]−(a^sb^t−a^tb^s)=(a^s−b^s)(a^t+b^t)− (a^sb^t−
a^tb^s)=(a^t−b^t)[ a^(s−t)+a^(s-2t)b^t+⋯+b^(s−t)](a^t+b^t)−( a^t−b^t) [a^(s−t)b^t+a^(s-2t)b^(2t) +⋯+a^(2t)b^(s-2t)+a^tb^(s-t)]=( a^t−b^t)[a^s+a^(s-t)b^t+⋯+a^tb^s−t+a^(s−t)b^t+a^(s-2t)b^(2t)+⋯+a^tb^(s−t)+b^s]+(a^t−b^t)[−a^(s−t)b^t−a^(s-2t)b^(2t)−⋯−a^tb^(s-t)]           =( a^t−b^t)[a^s+a^(s-t)b^t+⋯+a^tb^(s−t)+b^s] [s+t=(k+1)t,k+1=n,n∈N]。                                  
这就是说,当n=k+1时,等式仍成立。
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N都成立。
  a^n−b^n=(a−b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+⋯+b^(n−1)( n∈N)(代以“公式11”)即:当t=1时(这时s=n)的公式1。
二、公式1I
  证明:
由公式1得a^s−b^s=[a^(2t)−b^(2t)][a^(s−2t)+a^(s−2t)b^(2t)+⋯+b^(s−2t)]= (a^t+b^t)(a^t−b^t)[a^(s−2t)+a^(s−2t)b^(2t)+⋯+b^(s-2t)]=(a^t+b^t)[a^(s−t)−a^(s−2t)b^t+⋯−b^(s−t)](s=2nt,n∈N)。
三、公式1II
  证明:
  本公式为有关的数列(代以{ a|n })的第n项a|n,a|n表示a下标n,a|(2n)表示a下标2n,其余类推。{ a|n }的各项依次如下(由于本网对常用数学符号的格式无能力支持,所以说明如下:{a|n}即{a下标n},其余类推):
  a|1:a^(3t)+b^(3t)=(a^t+b^t)[a^(2t)−a^tb^t+b^(2t)],
  a|2:a^(5t)+b^(5t)=(a^t+b^t)[a^(4t)−a^(3t)b^t+ a^(2t)b^(2t)−a^tb^(3t)+b^(4t)],
a|3:a^(7t)+b^(7t)=(a^t+b^t)[a^(6t)−a^(5t)b^t+ a^(4t)b^(2t)−a^(3t)b^(3t)+a^(2t)b^(4t)−a^tb^(5t)+
b^(6t)], 
⋯,
a|n:a^(2n+1)+b^(2n+1)=a^s+b^s=(a^t+b^t)[a^(s−t)−a^(s-2t)b^t+ ⋯− a^tb^(s-2t)+
b^(s-t)][s=(2n+1)t,n∈N)。                                                                                                                                                                                                     用数列证明比用数学归纳法证明简单。
  ∵当t=1时,“[x+y^(−1)]+[x^2+y^(−2)]+[x^3+y^(−3)+ ⋯+[x^n+y^(−n)]”(见参考文献【1】)中的数列x+y^(−1),x^2+y^(−2),x^3+y^(−3),…x^n+y^(−n) 在某种意义与{ a|n }同样简单。
  ∴当t=1时,类似公式有时应当见于教材。
四、 配套成龙的公式或例题或习题
  1、∵“用数学的归纳法证明x^(2n)−y^(2n)(n∈N)能被x+y整除”以例题见于参考文献【2】,∴“以数学归纳法证明a^(2n)−b^(2n)=(a+b)[a^(2n−1)−a^(2n-2)b+⋯−b^(2n-1)](n∈N)”丞待以例题见于教材。
  2、∵“用数学归纳法证明x^n−y^n(n∈N)能被x−y整除”以习题见于参考文献【3】,∴公式11丞待以习题见于教材。
  3、∵“用数学归纳法证明x^n+y^n(n是正奇数)能被x+y整除”以习题见于参考文献【4】,∴“以数学归纳法证明'当t+1时的有关公式'”丞待以习题见于教材。
  ∵上述《1》《2》《3》中的参考文献【2】【3】【4】为同一教材,∴公11丞待以“要求重点掌握的基本公式”见于教材。
  4、“a^2−b^2=(a−b)(a+b)”“(a+b)^2=a^2+2ab+b^2”和“用数学归纳法证明的‘二项式定理’”均以基本公式见于教材,∴“以数学归纳法证明公11”丞待以基本公式见于教材。
  5、“用数学归纳法证明(a^1+a^2+⋯+a^n)2=a12+a22+⋯+an2+2〔(a^1a^2+a^1a^3+⋯+a^1a^n)+(a^2a^3+a^2a^4+⋯+a^2a^n)+⋯+[a^(n−2)a^(n−1)+a^(n−2)a^n]+…+a^(n1)a^n〕”以习题见于参考文献【5】,∴较之简单的公式1,1Ⅰ、1Ⅱ均丞待以习题见于教材。
参考文献
【1】2】【3】【4【5】人民出版社中学教学室高中数学下册(必修)。人民教育出版社,1990:60、116、120、121、128.
   ∵公式11;
  ∴a^60−b^60=(a−b)(a^59+a^58b+⋯+b^59)(a^60表示的次幂,其余类推);
  ∵公式1,
  ∴除a^60−b^60=(a−b)(a^59+a^58b+⋯+b^59)外,尚有
  a^60−b^60=(a^2−b^2)(a^58+a^56b^2+⋯+b^58),
  a^60−b^60=(a^3−b^3)(a^57+a^54b^3+⋯+b^57),
  a^60−b^60=(a^4−b^4)(a^56+a^52b^4+⋯+b^56),
  a^60−b^60=(a^5−b^5)(a^55+a^50b^5+⋯+b^55),
  a^60−b^60=(a^6−b^6)(a^54+a^48b^6+⋯+b^54),
  a^60−b^60=(a^10−b^10)(a^50+a^40b^10+⋯+b^50),
  a^60−b^60=(a^12−b^12)(a^48+a^36b^10+⋯+b^48),
  a^60−b^60=(a^15−b^15)(a^45+a^30b^15+⋯+b^45),
  a^60−b^60=(a^20−b^20)(a^40+a^20b^20+b^40),
  a^60−b^60=(a^30−b^30)(a^30+b^30)十解。




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