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因式分解新公式as−bs=(at−bt)(as-t+as-2tbt+⋯+bs-t),s=nt,n∈N

已有 2778 次阅读2017-11-16 23:11 |系统分类:科技教育分享到微信

冯建华(电话18245436492)         

(黑龙江农垦建三江分局鸭绿河农场54连,黑龙江 佳木斯 166334)

 


    标题中的公式是因式分解新公式42个中的首要公式。(由于本网对常见数学符号的格式无能力支持,所以说明如下)其中:as即a的s次幂,as-t即a的s-t次幂,as-2tbt即a的s-2t次幂与b的t次幂之积,s=nt即t分之s=n,其余类推。
    ∵举一,反三;

    ∴一给出asbs=(atbt)(as-t+as-2tbt++bs-t)(s=nt,nN)(代以“公式”),就给asbs=(at+bt)(as-tas-2tbt+⋯−bs-t)(s=2nt,nN)(代以“公式”)和 as+bs=(at+bt) (as-tas-2tbt                     ++bs-t)[s=(2n+1)t,nN](代以“公式”)

    ∵力求各项教学内容环环相扣得天衣无缝,各公式(或例题或习题)无不争取配套成龙。

一、公式

证明:

用数学归纳法证明:

1)当n=2时,右边=(atbt)(as-t+bs-t)= asbs=左边。等式成立。

2)假设当n=k时等式成立,就是asbs=(atbt)(as-t+as-2tbt++bs-t)(s=kt,k=n,nN)。

那么,当n=k+1时:as+tbs+t=as+t+asbtatbsbs+t(asbtatbs)=(asbs)(at+bt) (asbt

atbs)=(atbt)( as-t+as-2tbt++bs-t)(at+bt)( atbt) (as-tbt+       as-2tb2t ++a2tbs-2t+atbs-t)=( atbt)(as+as-tbt++ atbs-t+as-tbt     + as-2tb2t++ atbs-t+bs)+ ( atbt)( as-tbt as-2tb2t−⋯− atbs-t)           =( atbt)( as+as-tbt++atbs-t+bs) [s+t=(k+1)t,k+1=n,nN]。                                    

这就是说,当n=k+1时,等式仍成立。

根据(1)和(2),可知等式对任何nN都成立。

    anbn=(ab)(an-1+an-2b++bn-1)( nN)(代以“公式”)即:当t=1时(这时s+n)的公式Ⅰ。

二、公式

    证明:

由公式Ⅰ得asbs=(a2tb2t)(as-2t+as-2(2t)b2t++bs-2t)= (at+bt)(atbt)(as-2t+as-2(2t)b2t++bs-2t)=(at+bt)(as-tas-2tb+⋯−bs-t)(s=2nt,nN)上述‘类推’例如上行中的as-2t即a的s-2t次幂,as-2(2t)b2t即a的s-2(2t)次幂与b的2t次幂之积。

三、公式

    证明:

    公式Ⅲ为有关的数列(代以{ an })的第n项an{ an }的各项依次如下(由于本网对常用数学符号的格式无能力支持,所以说明如下:{an}即{a下标n},其余类推):

    a1:a3t+b3t=(at+bt)(a2tatbt+b2t),

    a2a5t+b5t=(at+bt)(a4ta3tbt+ a2tb2t  atb3t+b4t),

a3a7t+b7t=(at+bt)(a6ta5tb+ a4tb2ta3tb3t+a2tb4tatb5t+

b6t),    

ana2n+1+b2n+1=as+bs=(at+bt)(as-tas-2tbt+ ⋯− atbs-2t+

bs-t)[s=(2n+1)t,nN)。                                                                                                                                                                                                     用数列证明比用数学归纳法证明简单。

    ∵当t=1时,“(x+y的-1次幂)+(x的2次幂+y的-2次幂+(x的3次幂+y的-3次幂)+ ⋯+(x的n次幂+y的-n次幂)”(见参考文献【1】)中的数列x+y的-1次幂,x2+y的-2次幂,x3+y的-3次幂,xn+y的-n次幂 在某种意义与{ an }同样简单。

    t=1时的公式Ⅲ有时应当见于教材。

四、 配套成龙的公式或例题或习题

    1、“用数学的归纳法证明x2ny2nnN)能被x+y整除”以例题见于参考文献【2】,“以数学归纳法证明a2nb2n=(a+b)(a2n-1a2n-2b+⋯−b2n-1)(nN”丞待以例题见于教材。

    2、“用数学归纳法证明xnynnN)能被xy整除”以习题见于参考文献【3】,公式Ⅳ丞待以习题见于教材。

    3、“用数学归纳法证明xn+ynn是正奇数)能被x+y整除”以习题见于参考文献【4】,“以数学归纳法证明当t+1时的公式Ⅲ”丞待以习题见于教材。

    ∵上述《1》《2》《3》中的参考文献【2】【3】【4】为同一教材,公式Ⅳ丞待以“要求重点掌握的基本公式”见于教材。

    4、“a2-b2=(ab)(a+b)”“(a+b)2=a2+2ab+b2”和“用数学归纳法证明的‘二项式定理’”均以基本公式见于教材,“以数学归纳法证明公式Ⅳ”丞待以基本公式见于教材。

    5、“用数学归纳法证明(a1+a2++an2=a12+a22++an2+2〔(a1a2+a1a3++a1an)+(a2a3+a2a4++a2an)++(an-2an-1+an-2a n) +      

an-1an”以习题见于参考文献【5】,较之简单的公式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ均丞待以习题见于教材。

参考文献

1】2】【3】【4【5】人民出版社中学教学室高中数学下册(必修)。人民教育出版社,1990:60、116、120、121、128.

     ∵公式Ⅳ,

    ∴a60-b60=(a-b)(a59+a58b++b59);

    ∵公式Ⅰ,

    ∴除a60-b60=(a-b)(a59+a58b++b59)外,尚有

    a60-b60=(a2-b2)(a58+a56b2++b58),

    a60-b60=(a3-b3)(a57+a54b3++b57),

    a60-b60=(a4-b4)(a56+a52b4++b56),

    a60-b60=(a5-b5)(a55+a50b5++b55),

    a60-b60=(a6-b6)(a54+a48b6++b54),

    a60-b60=(a10-b10)(a50+a40b10++b50),

    a60-b60=(a15-b15)(a45+a30b15++b45),

    a60-b60=(a20-b20)(a40+a20b20+b40),

    a60-b60=(a30-b30)(a30+b30)九解。


 


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