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三段论的传递性

已有 407 次阅读2021-4-10 20:47 |系统分类:杂谈分享到微信

包含(属于)关系具有传递性,三段论可以视为传递性关系的运用。人们从远古就会知道:一个人属于家庭,家庭属于族群,那么,这个人属于族群。
一,传递关系(transitive relation)是一种特殊的关系,指由甲、乙和乙、丙都有,可推知甲、丙也有的那种关系。
1)传递。当aRb为真并且bRc也为真时,aRc必为真。此时的关系R是传递关系。例如,“人类属于灵长目,灵长目属于脊椎动物门,所以人类属于脊椎动物门”中的“属于”,“小明的成绩低于小张的,小张的成绩低于小芳的,所以小明的成绩低于小芳的”中的“低于”,还有“高于”“大于”“在……之前”、“在……之后”“领先”“比……高”等都是传递关系。

2)非传递。当aRb为真,并且bRc也为真时,aRc可能为真也可能为假,即当a和b之间有R关系,并且b和c之间也有R关系时,a与c之间可能有R关系也可能没有R关系。此时的关系R是非传递关系。例如,“甲喜欢乙,乙喜欢丙”中的“喜欢”,“甲是乙的朋友,乙是丙的朋友”中的“朋友”,还有“敬佩”“讨厌”“反对”“认识”“爱”等都是非传递关系。

3)反传递。当aRb为真,并且bRc也为真时,aRc必为假,即当a和b之间有R关系,并且b和c之间也有R关系时,a与c之间一定没有R关系。此时的关系R是反传递关系。如,“甲是乙的母亲,乙是丙的母亲,所以甲不是丙的母亲”中的“母亲”,“小明的成绩比小张少2分,小张的成绩比小芳少2分,所以小明的成绩不比小芳少2分”中的“比……少……”,还有“比……多……”“矛盾”“战胜”“父亲”等都是反传递关系。

二,传递性推理模式:aRb,bRc,所以aRc。最典型的传递性推理模式就是平行的传递了。直线A和直线B平行,即A//B;直线B和直线C平行,即B//C;则可推知:直线A和直线C平行,即A//C。传递性推理模式很多,包括:大于、小于、等于等;几何全等的传递;几何相似的传递……

包含(属于)关系具有传递性,三段论可以视为传递性关系的运用。人们从远古就会知道:一个人属于家庭,家庭属于族群,那么,这个人属于族群。这个命题的正确性是不需要证明的,并且,“具有传递性”这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础。
一个有效三段论的推理模式可以表示为:
小前提:所有x都是y    (xy)                   所有马都是动物
大前提:所有y都是z    (yz)                   所有动物都有生命                 
结  论:所有x都是z    (xz)                   所有马都有生命

根据逻辑的原则,所谓推理“有效”,是指忽略内容,只关注形式推导有效,即不管x、y、z是驴是马,只要两个前提为真,结论也为真。

在这里,x、y、z都被视为类即集合。xy是两个集合的交集即xy,它们既属于x又属于y。小前提——所有x都是y,被翻译为数学语言,所有x集合都属于y集合即xy,由此得到大前提是yz,结论是xz。这样一来,三段论推理就成了一个简单的集合论的数学运算。现在,用布尔代数来证明三段论推理的有效:小前提说,“所有x都是y”,即x类中的每一个东西都属于y类,可以表示为x=xy;同理,大前提可以写成y=yz,从而得到:x=xy=x(yz)=(xy)z=xz,略过中间过程,x=xz,就得到:“所有x都是z”。

这样,可以得到了下面的命题:凡是可以构成直言三段论的论述,对应的集合之间存在传递关系。事实上,如果命题之间不具有传递性,是不能进行逻辑论证的。例1:“所有三角形的内角和都是180度。平角不是三角形的内角和。所以,平角不是180度。”例1是一个三段论推理,可是这个推理是错的。错在:条件集合和结论集合之间不存在包含关系,没有传递性。小前提说平角“不属于”三角形,结论说平角“不属于”180度,“不属于”关系没有传递性。事实上,平角“属于”180度。从逻辑的层面看,演绎推理规定:在前提不周延的项,在结论中不得周延;这个推理的大项“180度”在前提中不周延,在结论中却周延了,违反了推理规则,是错误的推理。

例2:“所有三角形的内角和都是180度,这个多边形的内角和不是180度,所以这个多边形不是三角形。”例2未违反推理规则,是一个正确的推理。小前提说这个多边形“不属于”180度;结论说这个多边形“不属于”三角形。这里“不属于”有传递性。

例1、例2会使人们困惑,都是“不属于”关系推理,为什么一个对一个错呢?从逻辑的层面已经给出了答案,例1违反了推理规则,例2未违反推理规则。从数学集合论层面看,180度这个集合包含了三角形子集和平角子集;所以例1是错的。在例2中,三角形属于多边形,这个多边形也属于多边形;但多边形中唯有三角形属于180度,而这个多边形不属于180度,所以,这个多边形不属于180度集合内的三角形子集。

通过正反两个方面的讨论,可以得到结论:三段论推理的本质是命题变相的可传递性,或者说,命题所对应的集合之间可以形成包含关系,而包含关系具有可传递性。









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